A Pitagorasz-tétel bizonyítása

Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével. (A megfelelő szakaszhosszakra értve.)

a²+b²=c²

Kattints a piros négyzetre az animáció megtekintéséhez!

A Pitagorasz-tételnek egyik egyszerű bizonyítási módja az, amelynek alapgondolata: egyenlő területekből azonos nagyságú területeket elvéve, a maradék területek is egyenlő nagyságúak.

Vegyünk két négyzetet, mindkettő oldalhossza legyen a + b. Ezeket bontsuk részekre a következőképpen:

A bal oldali négyzetet gondolatban feldaraboljuk négy darab olyan derékszögű háromszögre, amelyek befogói a és b. Ezek azonos méretűek. Az átfogójuk is azonos hosszúságú, jelöljük c-vel. Ezenkívül két négyzetet kaptunk, az egyik a², a másik b² területű.

Az előző "nagy" négyzettel azonos területű jobb oldali négyzetet öt részre daraboltuk. Ebből négy olyan derékszögű háromszög, amilyent az előző felbontásnál kaptunk. Befogóik a és b, átfogójuk c.

Ha mindkét "nagy" négyzetből elvesszük a minden méretében azonos (csak más helyzetű) négy-négy derékszögű háromszöget, akkor a maradék területeknek is egyenlőknek kell lenniük.

A bal oldali "nagy" négyzetből két "kis" négyzet marad, ezek együttes területe a² + b².

A jobb oldali "nagy" négyzetből marad a középső négyszög. Ennek minden oldala c. Minden szöge 90°, mert (például) az AB oldal P pontjánál lévő nagyságát megkapjuk, ha az egyenesszögből elvesszük a derékszögű háromszög két hegyesszögének összegét, azaz 90°-ot. Mivel a négyszög minden oldala egyenlő és minden szöge 90°, a maradék négyszög is négyzet. Területe c².

A kétféle módon kapott maradékterületek egyenlő nagyságúak. Ezért a²+b²=c². Q. E. D.